Um quadrado mágico é um simples quadrado composto por outros pequenos quadrados.Em cada quadrado que constitui o quadrado mágico,insere-se um número de forma que a soma dos números de qualquer horizontal ou vertical resulte num mesmo valor.Em alguns casos,a soma de qualquer uma das duas diagonais principais também resultam no mesmo valor.Contudo,não consegui identificar uma forma equacionada para que diagonais se incluam.Meus resultados relativos aos quadrados mágicos renderam boas páginas de caderno portanto,separei as postagens em partes.Hoje,estudaremos os quadrados mágicos de lados pares e formados por números sequênciados.A partir deste tipo,a formulação de outros quadrados mágicos torna-se mais fácil pois o raciocínio é o mesmo.
Assim como Gauss fez(aos sete anos),se somarmos o primeiro número de uma sequência selecionada com o último,obteremos o mesmo resultado da soma entre o segundo número da sequência e o penúltimo.Assim, segue-se até o fim das somas.Então,se somarmos um grupo dos "n" primeiros números de uma sequência com o grupo de "n" últimos números da sequência,teremos o mesmo resultado da soma de um outro grupo de "n" elementos,imediatamente após o primeiro grupo,com o penúltimo grupo de "n" elementos do conjunto de números selecionados.Para aplicarmos essa regra aos quadrados mágicos,basta dividir igualmente os espaços de cada coluna/linha em números do início de sequência e do fim da mesma.
EX.:
A: {6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21}
6,7 e 20,21-> chamaremos de "x"
8,9 e 18,19-> chamaremos de "y"
10,11 e 16,17-> chamaremos de "z"
12,13 e 14,15-> chamaremos de "w"
a soma dos quatro elementos de "x",é igual a soma dos quatro elementos de "y","z" e "w".
Com esse conjunto "A",temos uma quantidade de números que permite a construção de um quadrado mágico 4x4:
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
Como já foi dito,para formar o quadrado mágico é somente necessário dividir os subconjuntos e coloca-los em uma linha/coluna.
EX.:
|6 |_ |_ |_ | (colocando o subconjunto "x")
|7 |_ |_ |_ | Perceba que a coluna foi divida em primeiros e últimos
|20|_ |_ |_ | números.Ordem crescente de "x".
|21|_ |_ |_ | A soma é igual à 54
Não basta apenas "jogar" os subconjuntos "x,y,z e w".Existe nesse caos,uma ordem perfeitamente estabelecida,e até mesmo simples.Se você começa com um subconjunto em ordem crescente,a ordem será estabelecida da seguinte forma:CRESCENTE,DECRESCENTE,DECRESCENTE,CRESCENTE,DECRESCENTE,DECRESCENTE,CRESCENTE,...
_x__y__z___w__
|6 |19|17 |12| 6+19+17+12=54
|7 |18|16 |13| 12+13+14+15=54
|20|9 |11 |14| 21+8+10+15=54
|21|8 |10 |15| 6+7+20+21=54
Para compensar o fato de as diagonais estarem excluídas,adiciona-se a essa forma de montar quadrados mágicos a soma entre os quatro números dos extremos do quadrado e a soma entre dois números alternados entre colunas/linhas vizinhas.
6+12+21+15=54
19+17+8+10=54
7+20+13+14=54
Surgiu um problema que é a montagem de quadrados mágicos de lados grandes.Percebe-se fácil que essa regra se aplica apenas para quadrados de lados racionais.Mas como determinar sua sequência quando seu quadrado for 8x8,12x12,...?
Mais uma vez,após suar muito e gritar de euforia,descobri que Gauss já tinha descoberto como,sem nem mesmo saber o que era um quadrado mágico(e ainda tinha apenas 7 anos).
.Equacionando a sequência dos números:
n-> primeiro elemento
u->último elemento
L->lado do quadrado
Todos esses números pertencem ao conjunto de números Naturais.
u = n + (L² -1)
Temos então,o primeiro elemento e o último,definindo a sequência.
Você pode montar um quadrado mágico sem toda essa burocracia.Porém,seguindo esses passos,não há dúvidas de que você obterá um quadrado mágico sem erro algum,seja qual for seu tamanho.
Ao fim desse estudo descobri que não há magia alguma,e o que me trouxe suor,foi um problema de fácil resolução.Descobri também que odeio Gauss.
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